twitterで，数学系の解説画像って需要あるかなって思ってアップしたんですが，全然「いいね」が来なかったのでここに供養します．
第一種および第二種スターリング数と呼ばれる数列を定義して，その組合せ論的な意味付けを紹介します．参考とした本： Martin Aigner, A course in Enumeration, GTM 238, 2007.変数の昇冪 と降冪 を と定義します． 多項式の集合とはどちらも]の基底だから…
現実逃避にStanleyのEnumerative Combinatorics (vol 1)の第7章を読み進める読書ノートを書こうと思います まだ何も書いていないですが，モチベを高めるためにとりあいずネットに上げておきます． 著作権のことを考えて，論理展開は本を追いますが文章や証明…
概要 の倍角公式 (第一種チェビシェフ多項式)を求める方法を四通り紹介します． は以下のようにの多項式として表せます． その具体的な式形をの倍角公式と呼ぶと思いますが，文脈によっては「第一種チェビシェフ多項式」と呼ぶこともあります．詳しい解説はW…
2019年9月21日に(あんちべ! 俺がS式だ)@AntiBayesianさんが，次のようなツイートをしました．社会性ゼロの人間に結婚式のパーティゲームを任せると「五回じゃんけんして勝利数多い方が勝ち、但し五回で合計13本しか指を使ってはいけない、つまりパーは最大2…
高校数学における場合の数や数列で練習を積んだおかげで、皆さんは有限個の何かを足し合わせることには慣れていると思います。 ところで、有限和を計算する場合はふつう有限の世界だけでの計算をする気がします。 有限のものを数える場合に、「有限＝無限ー…
数Aの場合の数の問題で， 「正7角形の頂点を3つ結んで作れる互いに合同でない三角形は何種類ですか」 みたいなのがあります．これが正角形だとどうなるか調べてみます．参考 大阪府立高津高等学校の久世さんとバセダさんが，2010年に同じ研究をしていました…
追記：このプログラムにはおそらくバグがあり、特定のサイズのヤング版で正しく列挙できない現象が起こります。 使わないでください。 (2020/09/13)12月頃，このブログで「平面分割」を列挙するアルゴリズムを載せました． iwalion.hatenablog.com今回は似て…
1円玉，5円玉，10円玉を使って 円をぴったり支払う方法の数を研究します．同じことをやっている人は，ググった感じだと組み合わせの問題です。 -（１）1円、5円、10円の硬貨をとりまぜて合計- 数学 | 教えて!goo や 西三数学サークル通信44号 なんかがありま…
二項係数の不等式 を代数的方法、全単射的方法、非交差経路を使う方法により証明します。続きはpdfで。drive.google.com
ある会社では社員が７人いて，それぞれの社員に「窓際＜新人＜係長＜課長＜部長＜社長＜会長」の順番でエラさに差があるポストが割り振られるそうである． ある時この会社は人事刷新をして，全員でポストを決め直すことになった．ただし，元々エラかったひと…
10月末に綾@ (@ayaHSYKZ)さんが，以下のような問題をツイートしました．問題、深夜にひっそりあげてみる pic.twitter.com/xE8UcrztR3— 綾@ (@ayaHSYKZ) 2018年10月27日消えたときのために文章でも書いておくと，以下の二条件を満たす行列 の個数を求めよとい…
この記事では-二項係数を組合せ的に定義し，その値を求めます．非負整数 が与えられているとします． 長さ1の水平な線分と垂直な線分を使って作れる，点 から点 への最短路の個数は，二項係数を使って と表されます．図1はそのような最短路の例です．図1: 点…
他己紹介とは，人の参加者が一人づつ自分以外の誰かを紹介し，結果的に 人全員が自分以外の誰かから紹介されるようにすることです．太郎，次郎，三郎，四郎の４人が参加者とすると，例えば 太郎は三郎を紹介． 次郎は太郎を紹介． 三郎は四郎を紹介． 四郎は…
命題： 自然数 が与えられたとき，方程式 の非負整数解の個数は 個である．証明１： 個の玉「●」と 個のしきり「｜」を直線上に並べる場合の数だと思えるので通りである． （終）証明２： 方程式 の非負整数解の集合から 集合 への全単射が存在する． また，…
複素数係数一変数多項式の全体 を通常の和と複素数によるスカラー倍により-線形空間とみなす． Theodore S. Chihara. (1978) "An introduction to orthogonal polynomials," p. 8.複素数係数多項式の列 が与えられていて を満たすとする． また線形写像 が与…
自然数の列 が を満たすとき， を自然数 のcomposition (構成: iwalion訳)という．列の長さのことを，構成の長さと呼ぶ．メモ：構成は要素に線形順序のついた分割ともいえる． 例えば列 と列 は長さ の異なる の構成である． Richard P. Stanley. (2011) "En…
一松 信『解析学序説 上巻』裳華房, 1976, p. 134.正項級数 が収束してその和が であるとする．このとき，どのように項の順序を入れ替えても収束して，和は に等しい． メモ：微積わからん．
「普遍性」について圏論の本で読み始めたばかりなので適切なタイトルがわからない．T. レンスター著『ベーシック圏論』p. 2. 整数環 は次の性質をもつ．「任意の環 について，環準同型 が唯一つ存在する．」T. レンスター著『ベーシック圏論』p. 3. 環 が性…
"A proof of Dilworth's decomposition theorem for partially ordered sets." Micha A. Perles. 1994.有限半順序集合 に含まれる最大の反鎖の濃度が ならば， は 個の鎖の和集合として表せる． メモ: Königの定理を使う証明があるらしい．
交わりのない半順序集合 が与えられているとする．定義（） 集合 に in in または in により順序をさだめ，半順序集合とみなす．定義（） 集合 に in in かつ in により順序をさだめ，半順序集合とみなす．定義（） 写像の集合 を は順序を保つと定める． 集…
定義 (分配束) 束 が以下の条件を満たすとき は分配束という． .定義 (イデアル) 半順序集合 の部分集合 が を満たすとき， は のイデアルという． 半順序集合 のイデアルの集合を で表す．命題 (半順序集合のイデアル全体のなす分配束) 半順序集合 のイデア…
Lattice theory. Garrett Birkhoff. p. 11.定理 9 束 に関する次の条件1と条件2は同値である． . . この命題に対するiwalionの一言． 結び，交わりの定義から示そうとして死んだ．
えへへ ホワイトボードの塵にするのがもったいないので思いついたことを書く． もう昔に誰かがやってると思う 概要 有限集合の交差族には包含関係に関して極大なものが存在する． そこで極大な交差族は本質的に何通り存在するのか，また，要素数 の集合の極…
『数え上げ組合せ論Ⅰ』 リチャード・スタンレイ著, 成嶋 弘 ら訳例 1. 1. 16自然数 が与えられているとする． 集合 の部分集合列 で を満たすものは 個存在する．
『現代組合せ論』Peter Frankl, 秋山 仁定理 1.1 とする. 任意の に対し を満たすならば である.
