直交多項式列の同値な定義 - 数学の命題示しました

複素数係数一変数多項式の全体 $\mathbb{C}[x]$ を通常の和と複素数によるスカラー倍により $\mathbb{C}$ -線形空間とみなす．

Theodore S. Chihara. (1978) "An introduction to orthogonal polynomials," p. 8.

複素数係数多項式の列 $(P_n(x))_{n=0}^{\infty}$ が与えられていて $\rm{deg}{P_n(x)}=n$ を満たすとする．また線形写像 $\mathcal{L}: \mathbb{C}[x] \to \mathbb{C}$ が与えられているとする．このとき次の二つの主張 (a), (b)は同値である．
(a) 二つの整数 $n,m \geq 0$ が異なるとき $\mathcal{L}[P_m(x)P_n(x)]=0$ .
また任意の整数 $n\geq 0$ に対し $\mathcal{L}[P_n^2(x)]\neq 0$ .
(b) 二つの整数 $n,m\geq 0$ が異なるとき $\mathcal{L}[x^mP_n(x)]=0$ .
また任意の整数 $n\geq 0$ に対し $\mathcal{L}[x^nP_n(x)]\neq 0$ .