置換の符号とは，対称群からへの唯一の非自明な準同型でとかきます． この置換の符号を使って，例えば行列式などが などと定義できるのでした．ここで，符号の値域をではなく，にすると，置換の符号を精密化した「一般化符号」ができて面白いんじゃないかと…

個の文字から重複を許して個とるとり方は 通りである．このことを二通りの方法で示す． 証明その１ 個の文字から重複を許して個とるとり方は， 個の (区別できない)ボールと個の (区別できない)仕切りを一列に並べる並べ方と一対一対応する． なぜならば，そ…

命題 変数論理関数，つまり写像は通り存在する．証明 と書いた時点でほとんど明らかな気がするが，証明するには真理値表が何通り書けるかを考えればよい． からまでの通りの入力が，それぞれのどちらになるかを決めるので，通りになる． （証明終わり）蛇足 …

以下の命題の代数的証明と組合せ論的証明を紹介する．また，組合せ論的証明に基づいてパラメータを増やす拡張を行う．定理 自然数について が成立する．上式左辺は，添字が動く範囲がだということを表す． また右辺は，-解析の記号を使うとと書ける． 代数的…

記事概要 本記事では以下を組合せ論的に示す． 証明は対合を構成することで行う． 具体的には例えばのときはが成り立つ． 定義や準備など 調べたところ，第二種スターリング数の行列式を考えた研究には[1]がある． また，数学質問サイトStack exchangeには第…

命題 自然数に対して以下が成立する． . 証明 人の中から偶数人の参加者を選ぶ方法が通りであることを言えばよい． 参加者を次のように決める： 一人目，二人目,...,人目までは，参加／不参加を自由に決める． 最後の人目は参加者の合計が偶数になるように，…

前回の記事（第一種スターリング数の恒等式 Σc(n,k)2^k=(n+1)!の三通りの証明 - 数学の命題示しました）では、第一種スターリング数の恒等式 に二通りの全単射的証明をつけた。今回は、 Amazon | Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof …

追記：よりシンプルな証明を本で見つけたので、記事にしました。 iwalion.hatenablog.comツイッターで「スターリング数」で検索してみると、次のようなツイートを見かけた。第1種スターリング数（n個の数をkこの巡回列に分解する方法の場合の数）のこの性質…

本記事の結論 時間がない人のために結論だけ書くと，以下が成立する (cf. [2])． , .とはそれぞれ第一種，第二種スターリング数で，右辺は基本，完全対称式である． このをに変えると， 標準的なスターリング数と呼ばれているものが得られる． 第一種，第二…

実数 , をとり， 点をこの順番に線分で結んでできる有界領域を「平行六角形」と呼ぶことにする．つまり，以下の図みたいなやつのことである． 平行六角形には上の図に赤い点線で描いたような内接楕円が存在するように見える． ここでいう内接楕円とは，平行…

三角格子上の平行六角形は，大きさに関わらずひし形タイル張りができることが知られている [1]． 例えば，下図左の赤で示された領域は右のようなひし形タイル張りが可能である．なので当然，任意の平行六角形に含まれる上向きの三角形△の数と下向きの三角形▽…

上向きの正三角形△と下向きの正三角形▽をつなぎ合わせて作る，下図の赤い部分で表される領域を考える． この領域は， △▽△▽△▽△▽△▽△▽△ ▽△▽△▽△▽△▽△▽△▽ みたいなやつを縦に積み重ねたものである．そこで，「底辺」に含まれる下向き三角形▽の数を，積み重ねた段の…