数学の命題示しました

主に組合せ論について，読んだ本で出てきたことや，考えたことを書きます．

置換の符号の一般化が無理だった話

置換

置換の符号とは，対称群 $S_n$ から $S_2=\{+1,-1\}$ への唯一の非自明な準同型で ${\rm sign}$ とかきます．
この置換の符号を使って，例えば行列式などが
$\displaystyle\det A = \sum_{\sigma\in S_n}{\rm sign}(\sigma)A_{1,\sigma(1)}\cdots A_{n,\sigma(n)}$
などと定義できるのでした．

ここで，符号の値域を $S_2$ ではなく， $S_3$ にすると，置換の符号を精密化した「一般化符号」ができて面白いんじゃないかと思いました．
ここでは，次のような写像 $f\colon S_n\to S_3$ を「一般化符号」と呼ぶことにしました．

$f$ は準同型である
$\forall \sigma\in S_3$ に対し $|f^{-1}(\sigma)|=n!/6$ である．
$\forall\sigma\in S_n$ に対し ${\rm sign}(\sigma)={\rm sign}(f(\sigma))$ である．

結論から言うと，そのような準同型 $f$ は $n\geq 5$ のとき存在しませんでした．

命題　 $n\geq 5$ のとき，そのような写像 $f$ は存在しない．
証明：
$n\geq 5$ のとき， $S_n$ の正規部分群は $\{{\rm id}\},A_n,S_n$ だけである．（知りませんでした...）
（group theory - Proving that $A_n$ is the only proper nontrivial normal subgroup of $S_n$, $n\geq 5$ - Mathematics Stack Exchange）
準同型の核は正規部分群なので， $|{\rm Ker}\ f|=1,n!/2,n!$ である．
$n!/6$ にはならないので，終了．
（証明終わり）

今後は，準同型であるという条件を外して，他の意味で良さそうな「一般化符号」がないか考えてみようと思います．