記事概要 本記事では以下を組合せ論的に示す． 証明は対合を構成することで行う． 具体的には例えばのときはが成り立つ． 定義や準備など 調べたところ，第二種スターリング数の行列式を考えた研究には[1]がある． また，数学質問サイトStack exchangeには第…

前回の記事（第一種スターリング数の恒等式 Σc(n,k)2^k=(n+1)!の三通りの証明 - 数学の命題示しました）では、第一種スターリング数の恒等式 に二通りの全単射的証明をつけた。今回は、 Amazon | Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof …

追記：よりシンプルな証明を本で見つけたので、記事にしました。 iwalion.hatenablog.comツイッターで「スターリング数」で検索してみると、次のようなツイートを見かけた。第1種スターリング数（n個の数をkこの巡回列に分解する方法の場合の数）のこの性質…

本記事の結論 時間がない人のために結論だけ書くと，以下が成立する (cf. [2])． , .とはそれぞれ第一種，第二種スターリング数で，右辺は基本，完全対称式である． このをに変えると， 標準的なスターリング数と呼ばれているものが得られる． 第一種，第二…

置換をサイクル分解したとき現れるサイクルの数をサイクル数という．置換のサイクル数をとかく．この統計量について，次の式が知られいてる． (式 1) 但し，は形式的な変数であり，とする．(式 1)についてより詳しくは，Stanley (R. P. Stanley, Enumerative…

第一種および第二種スターリング数と呼ばれる数列を定義して，その組合せ論的な意味付けを紹介します．参考とした本： Martin Aigner, A course in Enumeration, GTM 238, 2007.変数の昇冪 と降冪 を と定義します． 多項式の集合とはどちらも]の基底だから…