f-型数列の個数のリスト
-型数列と呼んでいるオブジェクトは,に入れるものを変えることにより,既存のいろんな数列を表すことができる.
にいろいろ入れてみて,出てきたものをリスト化しておく.
(「-型数列」は筆者の造語です.これを表す言葉がもうあるのを知ってる方は教えて頂けると幸いです.)
-型数列の定義
自然数の集合の部分集合の列
に対し,
(つまりが与えられているとし,)
数列であって,条件
- ,
を満たすものを,長さの-型数列という.
与えられたに対して,長さの-型数列の個数をとかく.
そして,数列を,-型数列の個数列という.
例:
のとき.(但し,)
長さの-型数列:1通り
長さの-型数列:1通り
長さの-型数列:の2通り
長さの-型数列:の5通り
...
-型数列の個数列はであり,それはカタラン数列であることが証明できる.
以下,与えたに応じて,-型数列の個数列のリストを作成した.
(中には予想も含まれるので注意.)
リストの見方
リストは三列からなる.
- 左の列は,
- 中央の列は,そのによってできる-型数列の個数列の名前や,オンライン数列大辞典へのリンク.
- 後ろの列は,筆者がその証明を知っているか,知らないかの区別を記している.「○」は筆者が証明を知っていることを表し,「X」は証明があってもそれを筆者が知らないか,または予想であることを表す.
なお,列によっては,の最初の数項だけが重要で,それ以降の項は-型数列の個数列に無関係な場合もある.その場合は,初項から必要な項までのみを記す.
リスト(最終更新日: 2023年02月02日)
自然数の部分集合の列 | -型数列の個数列 | 証明 |
○ | ||
, フィボナッチ数列 | ○ | |
○ | ||
フィボナッチ数列の偶数項 | X | |
母関数の数列.A052529 - OEIS | X | |
カタラン数 | ○ | |
○ | ||
母関数の数列.はカタラン数の母関数 | X | |
母関数の数列. | X | |
, A001764 - OEIS | X | |
X | ||
ある種の二分木の数, A002449 - OEIS | X | |
ある種の木, A000958 - OEIS | X | |
カタラン数の部分和, A014138 - OEIS | X | |
カタラン数の隣接項の和-1, | X | |
directed animalの個数, A005773 - OEIS | X |