数学の命題示しました

主に組合せ論について,読んだ本で出てきたことや,考えたことを書きます.

高校数学

重複組合せの数について

個の文字から重複を許して個とるとり方は 通りである.このことを二通りの方法で示す. 証明その1 個の文字から重複を許して個とるとり方は, 個の (区別できない)ボールと個の (区別できない)仕切りを一列に並べる並べ方と一対一対応する. なぜならば,そ…

平行六角形の内接楕円の公式

実数 , をとり, 点をこの順番に線分で結んでできる有界領域を「平行六角形」と呼ぶことにする.つまり,以下の図みたいなやつのことである. 平行六角形には上の図に赤い点線で描いたような内接楕円が存在するように見える. ここでいう内接楕円とは,平行…

係数の和が素数であるような非負整数係数二次多項式の既約性

追記 (2023年2月4日) 三次の場合についても成り立つようです. stack exchangeで証明を教えていただきました. mathoverflow.net以下本文. 定理 定数でなく,また定数項がでない非負整数係数の二次多項式 は,係数の和 が素数ならば 上既約である.(整数の…

二乗和の公式の導出

みなさん御存知の通り, です.この式の導出は「」をからまで足すみたいなやつが有名です.(ググればたぶん一番上に出てきます.) だけど,二乗和を求めると言われたときに「」を使う発想に至るのは飛躍が大きい気がして個人的にあまり好きじゃないです.…

カタラン数の求め方のひとつ

twitterで,数学系の解説画像って需要あるかなって思ってアップしたんですが,全然「いいね」が来なかったのでここに供養します.

正n角形の3頂点を結んで作れる合同でない三角形の数

数Aの場合の数の問題で, 「正7角形の頂点を3つ結んで作れる互いに合同でない三角形は何種類ですか」 みたいなのがあります.これが正角形だとどうなるか調べてみます.参考 大阪府立高津高等学校の久世さんとバセダさんが,2010年に同じ研究をしていました…

1円玉,5円玉,10円玉を使ってN円をぴったり支払う方法の数

1円玉,5円玉,10円玉を使って 円をぴったり支払う方法の数を研究します.同じことをやっている人は,ググった感じだと組み合わせの問題です。 -(1)1円、5円、10円の硬貨をとりまぜて合計- 数学 | 教えて!goo や 西三数学サークル通信44号 なんかがありま…

(nCk)^2 > (nC_{k+1})(nC_{k-1})の三通りの証明

二項係数の不等式 を代数的方法、全単射的方法、非交差経路を使う方法により証明します。続きはpdfで。drive.google.com