第一種，第二種スターリング数を対称多項式で表す

本記事の結論

時間がない人のために結論だけ書くと，以下が成立する (cf. [2])．
$c(n,k)=e_{n-k}(1,2,\ldots,n-1)$ ,
$S(n,k)=h_{n-k}(1,2,\ldots,k)$ .

$c$ と $S$ はそれぞれ第一種，第二種スターリング数で，右辺は基本，完全対称式である．
この $1,2,\ldots$ を $[1]_q,[2]_q,\ldots$ に変えると，
標準的な $q-$ スターリング数と呼ばれているものが得られる．

第一種，第二種スターリング数

定義 (第一種，第二種スターリング数)
非負整数 $n,k$ に対して第一種スターリング数 $c(n,k)$ ，第二種スターリング数 $S(n,k)$ をそれぞれ
$x(x-1)\cdots(x-n+1)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}c(n,k)\cdot x^k$ ,
$x^n=\sum_{k=0}^nS(n,k)\cdot x(x-1)\cdots(x-k+1)$
を満たす実数として定義する．

スターリング数は実は非負整数になり，以下のような組合せ論的な意味をもつ．

定理１ (第一種スターリング数の組合せ論的意味づけ，cf. [1])
任意の非負整数 $n,k$ について，第一種スターリング数 $c(n,k)$ は，
$n$ 文字の置換のうちサイクル数 $k$ であるものの個数に等しい．

定理２ (第二種スターリング数の組合せ論的意味づけ，cf. [1])
任意の非負整数 $n,k$ について，第二種スターリング数 $S(n,k)$ は，
$n$ 点集合の $k$ 部分への分割の個数に等しい．

上記二つの性質の説明は，本ブログの記事
第一種，第二種スターリング数 - 数学の命題示しました
でも述べた．
また，スターリング数は以下の漸化式を満たすことが知られている．

定理３ (スターリング数の満たす漸化式．cf. [2])
$c(n+1,k)=n\cdot c(n,k)+c(n,k-1)$ ,
$S(n+1,k)=k\cdot S(n,k)+S(n,k-1)$ ,

上記の漸化式についての証明は，Wikipediaの記事が見やすいかもしれない．

本記事では，対称多項式を使ってスターリング数を表す方法について述べる．

基本対称式や完全対称式を使ってスターリング数を表す

基本対称式 $e_k(x_1,\cdots,x_n)$ と完全対称式 $h_k(x_1,\cdots,x_n)$ の定義は
色々な方法があるが，ここでは以下のように定義する．

定義 (基本対称式，完全対称式)
変数 $x_1,\ldots,x_n$ についての多項式 $e_k(x_1,\ldots,x_n)$ と $h_k(x_1,\ldots,x_n)$
とを，それぞれ以下を満たす式として定義する．
$\sum_{k\geq 0}e_k(x_1,\ldots,x_n)t^k=\prod_{i=1}^n(1+tx_i)$ ,
$\sum_{k\geq 0}h_k(x_1,\ldots,x_n)t^k=\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-tx_i}$ .

これを使って，第一種，第二種スターリング数は以下の通り表される．

定理４ (スターリング数の対称多項式を使った表示．cf. [2])
$c(n,k)=e_{n-k}(1,2,\ldots,n-1)$ ,
$S(n,k)=h_{n-k}(1,2,\ldots,k)$ .

定理４の証明の概略

基本対称式と完全対称式はそれぞれ，以下の漸化式を満たす．

定理５ (基本対称式，完全対称式の満たす漸化式)
$e_m(z_1,\ldots,z_n,z_{n+1})=z_{n+1}e_{m-1}(z_1,\ldots,z_n)+e_m(z_1,\ldots,z_n)$ ,
$h_m(z_1,\ldots,z_n,z_{n+1})=z_{n+1}h_{m-1}(z_1,\ldots,z_n,z_{n+1})+h_m(z_1,\ldots,z_n)$ .