菱形タイル張り その１
上向きの正三角形△と下向きの正三角形▽をつなぎ合わせて作る，下図の赤い部分で表される領域を考える．
この領域は，
△▽△▽△▽△▽△▽△▽△
▽△▽△▽△▽△▽△▽△▽
みたいなやつを縦に積み重ねたものである．そこで，「底辺」に含まれる下向き三角形▽の数を，積み重ねた段の数を
として，
この領域をと書くことにする．
図の領域はである．
これから領域の菱形タイル張りの方法の数を考える．
菱形タイル張りとは，単位正三角形２つを辺でつなぎ合わせて作る「菱形のタイル」で領域を埋め尽くすことである．
例えば，次の図はの菱形タイル張りの例である．
上の例は，タイルのやや特殊な貼り方に見えるが，実はそうではない．領域には，上図のような貼り方しかないというのが今日示すことである．
命題
領域を菱形タイル張りする方法の数は，
通りである．
これを示すために，２つの補題を示す．
補題１
領域の菱形タイル張りにおいて，「層と層にまたがる位置」に，縦向きの菱形を置くことはできない．
つまり言いたいことは，下図の状況がありえないということである．
補題１の証明
領域を菱形タイルで埋め尽くしたとき，「層と層にまたがる位置」に，縦向きの菱形があったとする．
そのような縦向きの菱形のうち，一番下にあるものをとする．
の四辺のうち，右下の辺を
とする．辺
に接している
でない方の菱形を
とし，辺
の対辺を
とする．
同様にして辺に接して置かれている
でない方の菱形を
とし，辺
の対辺を
とすることを繰り返すと，ある辺
は領域
の境界の一部となる．
また，は一番下にあるということから，その辺
は，菱形
と同じ「層」にある事がわかる．
例えば，次の図のようになるわけである．
これを，菱形の左側に対しても行うと，領域
を二つの部分に分断する菱形の列が現れる．
例えば，下図のような感じである．この列において以外の菱形は，ある「層」に完全に含まれることに注意せよ．
領域が菱形タイル張りできるためには，二つに分断された「上側」と「下側」がそれぞれ菱形タイル張りできる必要があるが，
例えば「下側」の領域は上図でもわかる通り，上向きの三角形△の数と下向きの三角形▽の数が１だけ違うので，菱形タイル張りすることは不可能である．
（証明終わり．）
命題の証明
補題１より，層と層にまたがる菱形は置けないので，それぞれの「層」ごとに菱形の置き方を独立に考えればよい，
よって，
．
（証明終わり．）
