添字の動く範囲にminが絡むある和について

以下の命題の代数的証明と組合せ論的証明を紹介する．また，組合せ論的証明に基づいてパラメータを増やす拡張を行う．

定理
自然数 $n,r$ について
$\displaystyle\sum_{\substack (n,n+1,\ldots,n+r-1)\geq (\ell_0,\ldots,\ell_{r-1})\geq 0\\ \min\{\ell_0,\ldots,\ell_{r-1}\}\geq c\geq 0}q^{\ell_0+\cdots+\ell_{r-1}+c}=\frac{\prod_{i=1}^{r+1}(1-q^{n+i})}{(1-q)^r(1-q^{r+1})}$
が成立する．

上式左辺は，添字 $\ell_{i}$ が動く範囲が $0\leq\ell_{i}\leq n+i\ (0\leq i\leq r-1)$ だということを表す．
また右辺は， $q$ -解析の記号 $\displaystyle[n]\triangleq \frac{1-q^n}{1-q}$ を使うと $\displaystyle\frac{\prod_{i=0}^{r+1}[n+i]}{[r+1]}$ と書ける．

代数的証明

twitterにて証明を募集したところ，NKSさん (@nkswtr1)が教えてくれた証明を紹介する．
https://twitter.com/nkswtr1/status/1451845616653402114

この証明では，和の順番を入れ替えてまず添字 $c$ に関しての和と見ることがポイントだったようだ．

（証明終わり）

組合せ論的証明

右辺の分母を左辺に持ってきた形
$\displaystyle[r+1]\left(\sum_{\substack (n,n+1,\ldots,n+r-1)\geq (\ell_0,\ldots,\ell_{r-1})\geq 0\\ \min\{\ell_0,\ldots,\ell_{r-1}\}\geq c\geq 0}q^{\ell_0+\cdots+\ell_{r-1}+c}\right)=\prod_{i=1}^{r+1}[n+i]$
を示す．
整数の $r+1$ 個組の二つの集合を
$I\triangleq\{(\ell_0,\ldots,\ell_{r-1};c)\mid 0\leq \ell_i\leq n+i\ (0\leq i\leq r-1),\ 0\leq c\leq \min\{\ell_0,\ldots,\ell_{r-1}\}\}$
$J\triangleq\{(t_0\ldots,t_{r})\mid 0\leq t_{i}\leq n+i\ (0\leq i\leq r)\}$
と定義する．
式を示すには，全単射 $\{0,\ldots,r\}\times I\ni (x,(\ell_0,\ldots,\ell_{r-1};c))\mapsto (t_0,\ldots,t_{r})\in J$
であって，
(式１)：　 $\displaystyle x+\sum_{i=0}^{r-1}\ell_{i}+c=\sum_{j=0}^rt_r$
を満たすものを作ればよい．
全単射は次のように作る．

$(x,(\ell_0,\ldots,\ell_{r-1};c))$ に対して，
$(t_0,\ldots,t_r)\triangleq (\ell_0,\ldots,\ell_{r-x-1},c,\ell_{r-x}+1,\ldots,\ell_{r-1}+1)$ と定める．
つまり，列 $(\ell_0,\ldots,\ell_{r-1})$ の後ろから $x$ 番目の位置に $c$ を挿入し，それより後ろはすべて $+1$ するということである．
この対応は全単射的である．なぜならば，できた列 $(t_0,\ldots,t_r)$ の中で一番小さい要素のうち一番右にあるものが $c$ として挿入されたものだと分かるからである．
またこの対応は(式１)を満たす．
（証明終わり）

組合せ論に基づく拡張

組合せ論的証明をよく見ると追加のパラメータとして $a_i$ を入れた次の拡張ができる．
定理
自然数 $n,r$ について
$\displaystyle\sum_{x=0}^r\sum_{\substack (n,n+1,\ldots,n+r-1)\geq (\ell_0,\ldots,\ell_{r-1})\geq 0\\ \min\{\ell_0,\ldots,\ell_{r-1}\}\geq c\geq 0}q^{\ell_0+\cdots+\ell_{r-1}+c+x}\left(\prod_{i=0}^{r-1}a_{\ell_i-i}\right)a_{c-r+x}$
$\displaystyle=\prod_{i=0}^r\sum_{j=0}^{n+i}q^ja_{j-i}$

が成立する．
この式は，全ての $a_i$ を $a_i=1$ とすると元の式に戻る．

証明
(右辺)
$\displaystyle=\sum_{(t_0,\ldots,t_{r})\in J}q^{t_0+\cdots+t_r}\prod_{i=0}^ra_{t_i-i}$
ここで全単射を使って $J$ から $I$ にうつすと
$\displaystyle=\sum_{x=0}^r\sum_{(\ell_0,\ldots,\ell_{r-1};c)\in I}q^{\ell_0+\cdots+\ell_{r-x-1}+(\ell_{r-x}+1)+\cdots+(\ell_{r-1}+1)+c}\left(\prod_{i=0}^{r-x-1}a_{\ell_i-i}\right)\left(\prod_{i=r-x+1}^{r}a_{\ell_{i-1}+1-i}\right)a_{c-(r-x)}$
=(左辺)