x_1+...+x_n=k の非負整数解の個数 - 数学の命題示しました

命題：
自然数 $n,k$ が与えられたとき，方程式 $x_1+\cdots +x_n=k$ の非負整数解の個数は $\binom{n+k-1}{k}$ 個である．

証明１：
$k$ 個の玉「●」と $n-1$ 個のしきり「｜」を直線上に並べる場合の数だと思えるので $\binom{n+k-1}{k}$ 通りである．
（終）

証明２：
方程式 $x_1+\cdots +x_n=k$ の非負整数解の集合から
集合 $B\triangleq\{(b_1,\ldots,b_k)\in\mathbb{N}^k\mid 1\leq b_1\leq \cdots \leq b_k \leq n\}$ への全単射が存在する．
また，集合 $B$ から集合 $C\triangleq\{(c_1,\ldots,c_k)\in\mathbb{N}^k\mid 1\leq c_1 \lt \cdots \lt c_k \leq n+k-1\}\}$ への全単射を $c_i\triangleq b_i+i-1$ と作れる．
集合 $C$ の濃度は $\binom{n+k-1}{k}$ である．
（終）

興味：
変数 $x_i$ に係数がつくとどうなるだろうか？

参考：Richard P. Stanley. (2011) "Enumerative Combinatorics," Volume 1, second edition. v. 15. p. 27.