自然数 n のcompositionの数 - 数学の命題示しました

自然数の列 $\alpha=(a_1,a_2,\ldots,a_k)$ が $\sum_{k\geq 0}a_k=n$ を満たすとき， $\alpha$ を自然数 $n$ のcomposition (構成: iwalion訳)という．列の長さのことを，構成の長さと呼ぶ．

メモ：構成は要素に線形順序のついた分割ともいえる．
例えば列 $(1,1,2)$ と列 $(1,2,1)$ は長さ $3$ の異なる $4$ の構成である．

Richard P. Stanley. (2011) "Enumerative Combinatorics," Volume 1, second edition. v. 15. p. 25.
自然数 $n$ の長さ $k$ の構成の個数は $\binom{n-1}{k-1}$ 個である．
自然数 $n$ の構成の総数は $2^{n-1}$ 個である．

メモ： $n$ 点集合の極大交差族の濃度も $2^{n-1}$ であった．関係があるかもしれない．