cosのn倍角公式〜チェビシェフ多項式の話1
概要
の倍角公式 (第一種チェビシェフ多項式)を求める方法を四通り紹介します.
は以下のようにの多項式として表せます.
その具体的な式形をの倍角公式と呼ぶと思いますが,文脈によっては「第一種チェビシェフ多項式」と呼ぶこともあります.
詳しい解説はWikipediaを見てください.
チェビシェフ多項式 - Wikipedia
この記事では,一般のについてをの多項式として表す具体的な式を,趣の異なる四通りの方法で求めてみようと思います.
以下では,をで表す多項式をと書くことにします.
つまり,であり,
です.我々が知りたいのはです.
- 記号の約束
- 方法1:ド・モアブルの定理を使う
- 方法2:漸化式を作って解く
- チェビシェフ多項式の母関数
- 方法3:母関数を展開する
- 方法4:母関数からチェビシェフの微分方程式を作って解く
- その他の方法について
記号の約束
以下では,はを超えない最大の整数を表し,は二項係数を表すとします.
方法1:ド・モアブルの定理を使う
ド・モアブルの定理
を使います.
ド・モアブルの定理
の右辺を展開して実部と虚部に分ける.
実部を取り出すと,
和の変数をからに変えて,を用いると
[証明終わり]
ド・モアブルの定理を使う証明方法は以下のサイトを参考に書きました.
チェビシェフの多項式(cosのn倍角の公式) | 数学の偏差値を上げて合格を目指す
方法2:漸化式を作って解く
が満たすべき漸化式を立てて解きます.
は以下の漸化式により定まる.
加法定理から
である.辺々足すと
である.
よって,が成立.
も,の定義より成立.
命題の漸化式を満たす多項式の列は一意に定まることから,それはである.
[証明終わり]
上で示した漸化式は行列を使うと以下のように書ける.
初期値はなので
である.あとはこの行列
の乗を求めればよい.行列は,行列
により対角化できて,
より,結局
となり,が得られる.
[証明終わり]
この方法を解説しているサイトは,探した感じだと
チェビシェフ多項式の計算法
などがありました.
チェビシェフ多項式の母関数
多項式列の母関数とは,二変数に関する形式的冪級数
のことです.これをチェビシェフ多項式の母関数と呼びましょう.
一般にある数列の性質を知りたいときには,その母関数のきれいな表示が分かると嬉しいことが多いです.
チェビシェフ多項式の母関数のきれいな表示を計算する方法は色々ありますが,ここでは上で求めた漸化式を使ってみます.
漸化式の両辺にをかけ,について和を取ると
ここから和の中身を揃え以下のようにする.
初期値はなので,
これをについて解けば主張が得られる.
[証明終わり]
チェビシェフ多項式のきれいな表示を計算する他の方法として
ド・モルガンの定理を使う方法があり,以下のサイトで紹介されています.
チェビシェフの多項式
方法3:母関数を展開する
上で求めた母関数を再び
の形に展開することで,を求めます.
ここで関係式を使うと,
和の中身について考える.
関係式を使うと,
但し,はクロネッカーのデルタ (のとき,のとき)であり,負の二項係数の値はである.
以上の計算から
が成立することがわかる.
上記の式は
という形の和であるが,和の内部変数をいじることで,この和を
という形に書き変えることを考える.
和
において,の係数を表にしてみた.空欄はを意味する.
これを見るに,
になりそう.
このことは数学的帰納法で示す必要があるが,省略する.
これを使って上で得た和の内部変数を取り替えれば,
を得る.
一方,
だったので,これらを比較すれば主張を得る.
[証明終わり]
方法4:母関数からチェビシェフの微分方程式を作って解く
この方法は,私の理解があやふやな部分があり,また少々天下り的です.
チェビシェフ多項式の母関数
から,形式的冪級数
がどんな表示を持つかが計算できます.計算には以下の方法を使います.
のとき,である.
である.微分すると
となる.よって,
[証明終わり]
これを何度も使えば,
なども言えます.
チェビシェフ多項式の母関数の場合は,
となります.
突然ですが,これがのでの一階と二階の偏微分
,
の線形結合で書けないかを考えてみることにします.
恒等式
が成立する条件を考えると,であればよいことがわかります.
つまり,
が成立して,よって我々が求めたい多項式は,微分方程式
の解であることが分かります.
この微分方程式は「チェビシェフの微分方程式」と呼ばれていてWikipediaもあります.
チェビシェフ方程式 - Wikipedia
これを適切な初期条件のもと解けばが求まるはずなのですが,それはいつか書くことにします.