半順序集合の諸演算 - 数学の命題示しました

交わりのない半順序集合 $P,Q$ が与えられているとする．

定義（ $P+Q$ ）
集合 $P+Q \triangleq P\cup Q$ に
$s\leq t$ in $P+Q \overset{\triangle}{\Longleftrightarrow} s\leq t$ in $P$ または $s\leq t$ in $Q$
により順序をさだめ，半順序集合とみなす．

定義（ $P\times Q$ ）
集合 $P\times Q$ に
$(s_1,t_1)\leq (s_2,t_2)$ in $P\times Q \overset{\triangle}{\Longleftrightarrow} s_1\leq s_2$ in $P$ かつ $t_1\leq t_2$ in $Q$
により順序をさだめ，半順序集合とみなす．

定義（ $Q^P$ ）
写像の集合 $Q^P$ を
$Q^P\triangleq \{f:P\to Q\mid f$ は順序を保つ $\}$ と定める．
集合 $Q^P$ に， $f\leq g$ in $Q^P \overset{\triangle}{\Longleftrightarrow} \forall s \in P$ 　 $f(s)\leq g(s)$ in Q
により順序を定め，半順序集合とみなす．