極大交差族の構造分類予想 - 数学の命題示しました

えへへ

ホワイトボードの塵にするのがもったいないので思いついたことを書く．
もう昔に誰かがやってると思う

概要

有限集合の交差族には包含関係に関して極大なものが存在する．
そこで極大な交差族は本質的に何通り存在するのか，また，要素数 $n$ の集合の極大な交差族と要素数 $n+1$ の集合の極大な交差族とは構造的に関係があるのかを調べた．
その結果，予想をいくつか得た．予想が正しければ，要素数 $n$ の集合の極大な交差族は，要素数 $k ~~(k < n)$ の集合の極大な交差族を「倍々して」できるものと，その方法では作れないものに分類可能である．

用語の準備

この記事を通じて， $X_n \triangleq \{1,2,\ldots,n\}$ とする．

定義 (交差族)
集合族 $\mathcal{F}\subseteq 2^{X_n}$ が
任意の $F,F'\in \mathcal{F}$ に対し $F\cap F' \neq \emptyset$ を満たすとき， $\mathcal{F}$ を $X_n$ の交差族という．
集合 $X_n$ の交差族全体の集合を ${\rm IF}(X_n)$ と表記する．

定義 (極大交差族)
集合 $X_n$ の交差族の濃度が $2^{n-1}$ のとき $X_n$ の極大交差族という．

同構造な交差族

定義（同構造な交差族）
集合 $X_n$ の交差族 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ が同構造であるとは， $X_n$ から自身への全単射 $f:X_n\to X_n$ が存在して
$\mathcal{F}=\left\{\{f(i)\mid i\in G\}\middle| G\in\mathcal{G}\right\}$ が成り立つことである．
このとき $\mathcal{F}\sim_n\mathcal{G}$ とかく．

命題
二項関係 $\sim_n$ は， ${\rm IF}(X_n)$ 上の同値関係である．

定義（上昇写像）
写像 ${\rm up_n}:{\rm IF}(X_n)\to {\rm IF}(X_{n+1})$ を， $\mathcal{F}\in {\rm IF}(X_n)$ に対して
${\rm up_n}(\mathcal{F})\triangleq \mathcal{F}\cup \{F\cup\{n+1\}\mid F\in\mathcal{F}\}$
と定義する．
また，交差族 $\mathcal{F}\in {\rm IF}(X_n)$ に ${\rm up}_{n},{\rm up}_{n+1},\ldots,{\rm up}_{n+k-1}$ を順に施すことにより得られる， $X_{n+k}$ の交差族を ${\rm up}_{n,\ldots,n+k-1}(\mathcal{F})$ と表記する．

例

$n=3$ のとき $\{1,2,3\}$ の交差族 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ を
$\mathcal{F}\triangleq \{\{1\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$
$\mathcal{G}\triangleq \{\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\},\{1,2,3\}\}$
と定めると， $\mathcal{F},\mathcal{G}$ は同構造でない極大交差族である．
集合 $X_2=\{1,2\}$ の交差族 $\{\{1\},\{1,2\}\}$ は $X_2$ の極大交差族である．
$\mathcal{F}$ と ${\rm up}_2(\{\{1\},\{1,2\}\})$ とは同構造である．

極大交差族の構造分類

予想１
商集合 ${\rm IF}(X_n) / \sim_n$ の濃度は $\lceil n/2 \rceil$ である．

予想２
集合族 $\mathcal{F}$ は，集合 $X_n$ の極大交差族とする．
このときある奇数の自然数 $k\leq n$ と集合 $X_k$ の極大交差族 $\mathcal{G}$ が存在して，
$\mathcal{F}$ と ${\rm up}_{k,\ldots,n-1}(\mathcal{G})$ とは同構造な交差族である．
さらに，そのような奇数 $k$ の最小値は同値関係 $\sim_n$ に関する同値類にのみ依存して決まる．

商集合 ${\rm IF}(X_n) / \sim_n$ から上で述べた奇数 $k$ の最小値への写像を ${\rm bottom}$ とする．

予想３
写像 ${\rm bottom}$ は可逆である．