線分上に右詰めで並べる母関数の行列式表示

幅 $1\times$ 長さ $n$ の場所の上に，以下の二種類のタイル

幅 $1\times$ 長さ $1$ のタイル
幅 $1\times$ 長さ $2$ のタイル

を右詰めで， $0$ 個以上敷くことを考える．
このような敷き方の集合を $\mathcal{T}_n$ とかく．
（記事下に $\mathcal{T}_3$ の例があるのでそれも参照せよ．）

$f(n)$ をフィボナッチ数とすると，このような敷き方は
$\displaystyle\sum_{i=0}^nf(n)$
通りである．ここではより精密に数える．

タイルを置く場所に $0,\ldots,n$ の数直線を書き，

$[k,k+1$ ]の場所に置かれた長さ $1$ のタイルの重みは $-a_{k,k}$ ,
$[k,k+2$ ]の場所に置かれた長さ $2$ のタイルの重みは $-a_{k,k+1}$

とする．
タイルの敷き方 $\omega$ の重み $w(\omega)$ は，含まれるタイルの重みの積によって定める．
タイルの敷き方 $\omega$ に対して，タイルの長さの和を $|\omega|$ とかく．

以下は， $n=9$ のときのタイルの敷き方 $\omega\in\mathcal{T}_n$ とその重み $w(\omega)t^{|\omega|}$ の例．

この重みに関する母関数
$\displaystyle\sum_{\omega\in \mathcal{T}_n}w(\omega)t^{|\omega|}$
は以下のような行列式表示を持つ．
$-\det\left[ \begin {array}{ccccccc} a_{{0,0}}t-1&a_{{0,1}}{t}^{2}-1&-1&-1&-1&-1&-1\\ 1&a_{{1,1}}t&a_{{1,2}}{t}^{2}&0&0&0&0\\0&1&a_{{2,2}}t&a_{{2,3}}{t}^{2}&0&0&0\\ 0&0&1&a_{{3,3}}t&a_{{3,4}}{t}^{2}&0&0\\ 0&0&0&1&a_{{4,4}}t&a_{{4,5}}{t}^{2}&0\\ 0&0&0&0&1&a_{{5,5}}t&a_{{5,6}}{t}^{2}\\ 0&0&0&0&0&1&a_{{6,6}}t\end {array} \right]$