一般化されたWorpitzkyの定理 - 数学の命題示しました

$b_0,b_1,b_2\ldots$ を不定元とし ${\bf b}\triangleq(b_0,b_1,b_2,\ldots)$ とする．
一般化されたEulerian numberを
$\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n}{k}_{{\bf b}}\triangleq(n-k+b_{n-1})\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n-1}{k-1}_{{\bf b}}+(k+1-b_{n-1})\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n-1}{k}_{{\bf b}}$ ,
$\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{0}{k}_{{\bf b}}\triangleq\delta_{k,0}$
により定義する．

例えば $\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n}{k}_{{\bf b}}$ の値は $n,k$ が小さい時以下の通りである．

	k=0	k=1	k=2	k=3
n=0	$1$	0	0	0
n=1	$1-b_0$	$b_0$	0	0
n=2	$(1-b_0)(1-b_1)$	$-2b_0b_1+b_0+b_1+1$	$b_0b_1$	0
n=3	$(1-b_0)(1-b_1)(1-b_2)$	$3b_0b_1b_2-2b_0b_1$ $-2b_0b_2-2b_1b_2+4$	$-3b_0b_1b_2+b_0b_1$ $+b_0b_2+b_1b_2+b_0+b_1+b_2+1$	$b_0b_1b_2$

この一般化されたEulerian numberについて以下の一般化されたWorpitzkyの定理が成り立つ．

定理（一般化されたWorpitzkyの定理）
任意の非負整数 $n$ に対して以下が成り立つ．
$\displaystyle(x+b_0)(x+b_1)\cdots(x+b_{n-1})=\sum_{k=0}^n\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n}{k}_{{\bf b}}\binom{x+k}{n}.$

証明
$n$ に関する帰納法による．
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n}{k}_{{\bf b}}\binom{x+k}{n}$
定義の漸化式を使うと
$\displaystyle=\sum_{k=1}^n(n-k+b_n)\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n-1}{k-1}_{{\bf b}}\binom{x+k}{n}+\sum_{k=0}^{n-1}(k+1-b_n)\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n-1}{k}_{{\bf b}}\binom{x+k}{n}$
$\displaystyle=\sum_{k=0}^{n-1}(n-k-1+b_n)\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n-1}{k}_{{\bf b}}\binom{x+k+1}{n}+\sum_{k=0}^{n-1}(k+1-b_n)\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n-1}{k}_{{\bf b}}\binom{x+k}{n}$
$\displaystyle=\sum_{k=0}^{n-1}\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n-1}{k}_{{\bf b}}\frac{(x+k)_{n-1}}{n!}\left((n-k-1+b_n)(x+k+1)+(k+1-b_n)(x+k-n+1)\right)$
$\displaystyle=(x+b_{n-1})\sum_{k=0}^{n-1}\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n-1}{k}\binom{x+k}{n-1}$
帰納法の仮定から
$\displaystyle=(x+b_0)(x+b_1)\cdots(x+b_{n-1}).$
（証明終わり）

${\bf b}=(0,0,0,\ldots)$ と特殊化すると，普通のWorpitzkyの定理に戻る．
系（普通のWorpitzkyの定理）
任意の非負整数 $n$ に対して以下が成り立つ．
$\displaystyle x^{n}=\sum_{k=0}^n\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{0}{n}{k}_{{\bf 0}}\binom{x+k}{n}.$